Un "insieme" è un'entità del pensiero che permette di rappresentare univocamente, assegnandogli un nome, una qualsiasi collezione di oggetti distinguibili, associandoli quali propri elementi.
E' il modo più semplice (associazione senza designazione di ruoli o posizioni differenziate da assegnare agli oggetti) di derivare nuove entità del pensiero da altre preesistenti.
Nella vita (nel linguaggio) comune, gli insiemi sono generalmente designazioni approssimative ed i loro elementi variabili nel tempo. Nel mondo platonico senza tempo della matematica invece, criterio di definizione e corrispondente estensione si pretende debbano coincidere senza scarti, e tutti i nomi che vengono coniati per tale identità devono risultare dei sinonimi perfetti.
Prima conseguenza della rappresentazione unitaria di una molteplicità, è la possibilità per quest'ultima di entrare a far parte (come elemento) di un'altra molteplicità di livello superiore, senza confusione dei rispettivi elementi. Questo consente la costruzione di strutturazioni arbitrariamente complesse, capaci di "rappresentare" (modellare, emulare, non importa se con maggiore o minore fatica) davvero molto.
Ma viene Russell e argomenta:
Si definiscano "ordinari" gli insiemi che non comprendono se stessi fra i propri elementi e "straordinari" gli insiemi che comprendono se stessi fra i propri elementi.
Questo limpido criterio sembra davvero soddividere (l'inconcepibile) "insieme degli insiemi" nei due sottoinsiemi
O = insieme degli insiemi ordinari
S = insieme degli insiemi straordinari
[esempio di elemento di S (dal Courant&Robbins):
s20 = insieme degli insiemi definibili da meno di 20 parole
(sa decisamente di trucco: "interpretando" una simile definizione, per stabilirne la congruenza, chiaramente fuoriusciamo dal "dominio" matematico, ma ce ne saranno di migliori, tiriamo avanti)]
s20 = insieme degli insiemi definibili da meno di 20 parole
(sa decisamente di trucco: "interpretando" una simile definizione, per stabilirne la congruenza, chiaramente fuoriusciamo dal "dominio" matematico, ma ce ne saranno di migliori, tiriamo avanti)]
Ora ci si chieda: O è ordinario oppure straordinario?
Qualunque corno del dilemma si scelga, si arriva ad una CONTRADDIZIONE:
se O viene pensato come ordinario, viene con questo atto incluso in O, ovvero fra i suoi stessi elementi, diventando dunque straordinario
se O viene pensato come straordinario, viene con questo atto escluso da O, ovvero dai suoi stessi elementi, diventando quindi ordinario.
E d'altra parte la definizione intuitiva parlava di "oggetti distinguibili", ma noi quanti ne sappiamo distinguere di elementi dell'insieme degli insiemi? Soltanto una quota evanescente, è ovvio. Come possiamo dunque pretendere di suddividerlo in due parti, con un grido perfezionato delle scimmie e dei cani? Da un punto di vista costruttivo appare abbastanza ovvio vietare ad un insieme "come si deve" di autoingerire se stesso: a che diavolo può servire un simile riciclare all'infinito? Dunque i "veri" insiemi sono solo gli elementi di O, mentre O stesso non lo consideriamo tale. Ma questi insiemi "ben fatti" che cosa costituiscono collettivamente, dato che non sono un vero insieme? Leggo riguardo al rimedio proposto da Russell: "Il concetto che sta alla base della teoria dei tipi è il seguente: un insieme appartiene ad un livello 'più alto' del livello al quale appartengono i suoi elementi e nessuno può parlare dell'insieme di tutti gli insiemi o costruzioni analoghe"...
Creta Grauzaria, domenica 27
